Mate a Matemática: 2013

quarta-feira, 30 de outubro de 2013

Coluna Kids \o/

Equação do amor:
A equação do amor

A matemática é uma ciência que muitos odeiam, sentem pavor só de ouvir seu nome, terminam suas vidas com um sentimento de desprezo por equações, expressões, sentenças e problemas. Por outro lado, há pessoas que a admiram, têm verdadeira adoração pelos seus mistérios, teoremas e axiomas, conseguem ver em suas entrelinhas inspiração para relatos de amor e paixão. Galileu Galilei descreve sua admiração pela matemática com o célebre pensamento: “A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo”. Seguindo a linha dos que têm muito apreço por essa ciência fascinante, vamos exibir uma equação que poderá servir para conquistar alguns corações, mesmo daqueles que ainda não sentiram brotar no peito a paixão pela matemática. Reparem na beleza da estruturação e mais ainda no resultado final, uma verdadeira declaração de amor.

Vamos considerar os números reais positivos a, t, e, o, m. Obteremos o valor real de xna equação:

Vamos elevar os dois membros da igualdade ao quadrado, obtendo:

Multiplicando ambos os membros por mo (sendo mo ≠ 0), obtemos:

Considerando a ≠ 0, vamos dividir os dois lados da igualdade por a, obtendo:

Post por: Amanda Strücher

terça-feira, 29 de outubro de 2013

Rapidinhas - Curiosidades

Você sabia que a diferença de um número com o outro que obtemos escrevendo-o de trás para frente é igual a zero ou a um múltiplo de nove? Veja alguns exemplos:

22 - 22 = 0
51 - 15 = 36 (múltiplo de 9)
444 - 444 = 0
998 - 899 = 99 (múltiplo de 9)
1350 - 0531 = 819 (múltiplo de 9)
654321 - 123456 = 530865 (múltiplo de 9)

Você sabia que adicionando o número 1 à multiplicação de quatro números consecutivos você obtém um quadrado perfeito?

Exemplo: 1*2*3*4+1 = 25

Gugol é o número 1 seguido de 100 zeros.

Esse nome surgiu quando em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho de 9 anos, Milton Sirotta, qual era o maior número que existia. A resposta do menino (algo como guuugol) não foi muito animadora, mas na mente de Kasner isso virou uma bela brincadeira. Em homenagem ao sobrinho, ele chamou de gugol ("googol", em inglês) o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra forma, o número 10 elevado a 100.

Em seguida, usou o gugol como base para denominar um número ainda maior: o gugolplex, que equivale a "10 elevado a 1 gugol".

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n² é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo:

5² = 1+3+5+7+9 = 25

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.

Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.

Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

Post por: Maria Raquel Martinez

segunda-feira, 28 de outubro de 2013

Funções pares e ímpares

Uma propriedade interessante nas funções reais e muito usada no Cálculo e em Séries de Fourier é a paridade das funções, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito os cálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas, como veremos neste post.

Definição 1: Dizemos que a função $[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};]$ é ímpar se $[;f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};]$ .

As funções $[;f(x) = x^3 - x;]$ e $[;g(x) = \sin x;]$ são exemplos de funções ímpares. A demonstração que $[;f;]$ é ímpar é imediata e para provar que $[;g(x);]$ é uma função ímpar basta analisar a figura acima.

Definição 2: Dizemos que a função $[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};]$ é par se $[;f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};]$ .

As funções $[;f(x) = \cos x;]$ e $[;g(x) = e^x + e^{-x};]$ são exemplos de funções pares e a demonstração que $[;f(x);]$ é uma função par, baseia-se novamente na figura acima.

Vejamos as principais propriedades das funções pares e ímpares.

Proposição 1: Toda função $[;f;]$ cujo domínio é $[;\mathbb{R};]$ ou um intervalo $[;E;]$ simétrico em relação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Demonstração: Sejam $[;g;]$ e $[;h;]$ duas funções obtidas de $[;f;]$ e dadas por

$[;g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \qquad \text{e} \qquad h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2};]$

Note que

$[;g(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - g(x);]$

e que $[;h(-x) = h(x);]$ . Assim, $[;g;]$ é uma função ímpar e $[;h;]$ é uma função par. Para encerrar a prova, note que $[;f(x) = g(x) + h(x);]$ .

Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade.

Demonstração: Sejam $[;f;]$ e $[;g;]$ duas funções ímpares definidas em $[;\mathbb{R};]$ ou em um intervalo $[;E;]$ simétrico em torno da origem. Assim,

$[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x);]$

De modo análogo, se $[;f;]$ e $[;g;]$ , são funções pares,

$[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x);]$

Proposição 3: O produto de duas funções $[;f;]$ e $[;g;]$ de mesma paridade é uma função par, isto é, se $[;f;]$ e $[;g;]$ são funções pares ou ímpares, então a função $[;(fg)(x);]$ é uma função par.

Demonstração: A prova é bem simples e fica a cargo do leitor.

Proposição 4: O produto duas funções $[;f;]$ e $[;g;]$ de paridades distintas é uma função ímpar.

Demonstração: Análoga a prova da proposição anterior.

Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Demonstração: Seja $[;f;]$ uma função par e considere a função $[;g(x) = f^{\prime}(x);]$ . Sendo $[;f;]$ uma função par, $[;f(-x) = f(x);]$ para todo $[;x \in \mathbb{R};]$ . Derivando ambos os lados desta expressão, temos

$[;\frac{d}{dx}f(-x) = \frac{d}{dx}f(x) \quad \Rightarrow \quad -f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x) \quad \Rightarrow \quad -g(-x) = g(x);]$

ou seja, $[;g(x);]$ é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga.

Vejamos agora aplicação da propriedade de paridade sobre as funções trigonométricas. Por exemplo, é fácil provar que além da função $[;\sin x;]$ , as funções $[;\tan x;]$ e $[;\cot x;]$ são funções ímpares.

As fórmulas de adição e diferença de arcos também podem ser deduzidas usando a propriedade de paridade. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1: Sabendo que $[;\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y);]$ , calcule $[;\cos(x - y);]$ .

Resolução: Usando o fato que a função $[;\cos x;]$ é par e a função $[;\sin x;]$ é uma função ímpar, temos:

$[;\cos(x - y) = \cos[x + (-y)] = \cos(x)\cos(-y) - \sin(x)\sin(-y) \quad \Rightarrow;]$

$[;\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y);]$

Post por: Rafaela Xaud