Mate a Matemática: Funções pares e ímpares

Uma propriedade interessante nas funções reais e muito usada no Cálculo e em Séries de Fourier é a paridade das funções, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito os cálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas, como veremos neste post.

Definição 1: Dizemos que a função $[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};]$ é ímpar se $[;f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};]$ .

As funções $[;f(x) = x^3 - x;]$ e $[;g(x) = \sin x;]$ são exemplos de funções ímpares. A demonstração que $[;f;]$ é ímpar é imediata e para provar que $[;g(x);]$ é uma função ímpar basta analisar a figura acima.

Definição 2: Dizemos que a função $[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};]$ é par se $[;f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};]$ .

As funções $[;f(x) = \cos x;]$ e $[;g(x) = e^x + e^{-x};]$ são exemplos de funções pares e a demonstração que $[;f(x);]$ é uma função par, baseia-se novamente na figura acima.

Vejamos as principais propriedades das funções pares e ímpares.

Proposição 1: Toda função $[;f;]$ cujo domínio é $[;\mathbb{R};]$ ou um intervalo $[;E;]$ simétrico em relação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Demonstração: Sejam $[;g;]$ e $[;h;]$ duas funções obtidas de $[;f;]$ e dadas por

$[;g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \qquad \text{e} \qquad h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2};]$

Note que

$[;g(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - g(x);]$

e que $[;h(-x) = h(x);]$ . Assim, $[;g;]$ é uma função ímpar e $[;h;]$ é uma função par. Para encerrar a prova, note que $[;f(x) = g(x) + h(x);]$ .

Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade.

Demonstração: Sejam $[;f;]$ e $[;g;]$ duas funções ímpares definidas em $[;\mathbb{R};]$ ou em um intervalo $[;E;]$ simétrico em torno da origem. Assim,

$[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x);]$

De modo análogo, se $[;f;]$ e $[;g;]$ , são funções pares,

$[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x);]$

Proposição 3: O produto de duas funções $[;f;]$ e $[;g;]$ de mesma paridade é uma função par, isto é, se $[;f;]$ e $[;g;]$ são funções pares ou ímpares, então a função $[;(fg)(x);]$ é uma função par.

Demonstração: A prova é bem simples e fica a cargo do leitor.

Proposição 4: O produto duas funções $[;f;]$ e $[;g;]$ de paridades distintas é uma função ímpar.

Demonstração: Análoga a prova da proposição anterior.

Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Demonstração: Seja $[;f;]$ uma função par e considere a função $[;g(x) = f^{\prime}(x);]$ . Sendo $[;f;]$ uma função par, $[;f(-x) = f(x);]$ para todo $[;x \in \mathbb{R};]$ . Derivando ambos os lados desta expressão, temos

$[;\frac{d}{dx}f(-x) = \frac{d}{dx}f(x) \quad \Rightarrow \quad -f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x) \quad \Rightarrow \quad -g(-x) = g(x);]$

ou seja, $[;g(x);]$ é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga.

Vejamos agora aplicação da propriedade de paridade sobre as funções trigonométricas. Por exemplo, é fácil provar que além da função $[;\sin x;]$ , as funções $[;\tan x;]$ e $[;\cot x;]$ são funções ímpares.

As fórmulas de adição e diferença de arcos também podem ser deduzidas usando a propriedade de paridade. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1: Sabendo que $[;\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y);]$ , calcule $[;\cos(x - y);]$ .

Resolução: Usando o fato que a função $[;\cos x;]$ é par e a função $[;\sin x;]$ é uma função ímpar, temos:

$[;\cos(x - y) = \cos[x + (-y)] = \cos(x)\cos(-y) - \sin(x)\sin(-y) \quad \Rightarrow;]$

$[;\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y);]$

Post por: Rafaela Xaud

Mate a Matemática

segunda-feira, 28 de outubro de 2013

Funções pares e ímpares

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