Sequências numéricas - Curiosidades

A análise das sequências numéricas nos mostra vários aspectos curiosos e históricos, muito interessantes no estudo da matemática. Vejamos algumas destas curiosidades:

a) O cálculo rápido de Gauss
Karl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu de 1777 a 1855.

Conta-se que Gauss, quando tinha aproximadamente 9 anos de idade, surpreendeu seu professor.

O professor, querendo manter silêncio na sala de aula por longo tempo, pediu aos alunos que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é, 1+2+3+ ... + 98+99+100

Em poucos minutos Gauss deu a resposta correta com o seguinte raciocínio:

Escreveu:

1+2+3+ ... + 98+99+100

em seguida,inverteu a série: 100+99+98+ ... + 3+2+1

A seguir, somou termo a termo:

101+101+101+ ... +101+101+101

Verificou que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja 100 x 101 = 10100

Como usou 2 vezes a sequência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 2 vezes na soma. 

Então, dividiu o total, ouseja:

10100 / 2 = 5050

Assim, em poucos minutos deu a resposta correta surpeendendo o professor e frustando-o em pensar que teria silêncio na turma durante um longo tempo.

De forma intuitiva, Gauss resolveu o problema com a fórmula que usamos normalmente, ou seja:

S₁₀₀ = ( (1+100) . 100 ) / 2 = 5050

b) A reflexão de Fibonacci

No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, visitou uma fazenda onde havia uma criação de coelhos e fez uma reflexão sobre a rápida reprodução desses animais.

Supondo que cada casal gere um novo casal, que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mes em mes fica formada uma sequência especial de números naturais que podemos representar na seguinte tabela:

Mês	Casais	No.de casais	Casais que dão cria
1	A	1
2	A	1	A
3	A,B	2	A
4	A,B,C	3	A
5	A,B,C,D,E	5	A e B
6	A,B,C,D,E,F,G,H	8	A, B e C
7	A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M	13	A, B, C, D e E
...	...	...	...

Resumindo a tabela, temos:

Mês - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...

Casais - 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...

Assim, Fibonacci extraiu a sequência em que cada termo representa o número de casais de coelhos: (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...)

Essa sequência, por isso recebeu o nome de "Sequência de Fibonacci" em homenagem ao seu descobridor

Observe o seguinte nesta sequência:

a) qualquer termo, a partir do 3º , é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores

b) a razão entre quaisquer dois termos, a partir do 3º, é aproximadamente igual ao número aúreo (l,618...). A divisão áurea ocorre quando temos a média e extrema razão, ou seja, numa divisão de um segmento de reta temos que o todo está para a maior parte assim como esta está para a menor parte

Exemplo:

Seja:

A           C     B

__________________

AB / AC = AC/CB = 1,618... caracteriza a divisão áurea

c) A produção de milho do reino como recompensa
Há uma lenda que diz ter um rei perguntado ao inventor do jogo de xadres o que ele queia como recompensa.

O inventor respondeu então:

1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 pela terceira, 16 pela quinta, e assim sucessivamente, sempre dobrando a quantia da nova casa.

O rei, apesar de ter concordado, não pode dar a recompensa ao inventor porque nem toda a produção de milho de seu reino daria o total da recompensa pedida.

A impossibilidade do rei cumprir a promessa deve-se ao seguinte cálculo:

Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o rei teria que dar a soma dos 64 primeiros termos da PG:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ..... (onde a razãoé q=2)

Assim, teria o rei que dar:

S_n = a₁(qⁿ - 1) / ( q -1), ou seja:

S₆₄ = 1(2⁶⁴-1) / (2-1) = 2⁶⁴ - 1 = 18446744073709551615 grãos de trigo.

Realmente o rei não poderia cumprir a promessa de recompensar o inventor.

Post por: Maria Raquel Martinez